Klausurvorbereitung Mathe

Alles für die Klausur, Schritt für Schritt.

Jedes Thema hat einen Merksatz, einen Graphen zum Ausprobieren und Aufgaben mit Lösung zum Aufklappen. Wenn ein Thema sitzt, drück unten auf „Kann ich“.

Lernzettel als PDF (2 Seiten)

So lernst du mit dieser Seite

Lies den Merksatz oben im Thema. Wenn ein Wort unklar ist: Abschnitt „Begriffe“.
Beweg die Regler und schau, was im Graphen passiert.
Rechne die Aufgaben erst selbst auf Papier, klapp dann die Lösung auf.
Am Ende: Selbsttest, dann die Probeklausur mit Timer.

90 Minutenerste 20 Min. ohne Hilfsmitteldann Formelsammlung + Taschenrechnerkeine Polynomdivision

Organisation

Ablauf der Klausur

Sei 10 Minuten vor dem Klingeln da: Einweisung und Austeilen passieren vorher. Die Zeit läuft ab dem Klingeln.

Teil 1

Teil 2: mit Formelsammlung + Taschenrechner

0 Min.2090 Min.

Teil 1 (rot, max. 20 Min.) läuft ohne Hilfsmittel. Dann gibst du die OHiMi-Aufgaben (OHiMi = ohne Hilfsmittel) mit deinen Lösungen ab und bekommst die Hilfsmittel.
Zeitverlängerung gibt es nur offiziell. Wenn dir eine zusteht, sag es der Lehrkraft vorher persönlich.

So sind die Punkte verteilt

AFB I · ⅓ Basiswissen

AFB II · ½ Anwenden

III · ⅙

AFB III heißt: komplexere Aufgaben und Interpretieren, z. B. „Was bedeutet das im Sachzusammenhang?“ oder Ableitungsgraphen deuten.

Zum Nachschlagen

Begriffe einfach erklärt

Die wichtigsten Wörter aus der Klausur in einem Satz.

Funktion f(x): Eine Regel: Du steckst x rein und bekommst f(x) raus, den y-Wert.
Graph: Die Kurve, die du zeichnest, wenn du alle Punkte (x | f(x)) einträgst.
Nullstelle: x-Wert, bei dem der Graph die x-Achse trifft. Dort ist f(x) = 0.
Steigung: Wie steil der Graph ist. Positiv: es geht bergauf. Negativ: bergab.
Sekante: Gerade durch zwei Punkte des Graphen. Ihre Steigung ist die mittlere Änderungsrate.
Tangente: Gerade, die den Graphen an einer Stelle nur berührt. Ihre Steigung ist f'(x).
Ableitung f'(x): Neue Funktion, die für jedes x die Steigung von f angibt.
Zweite Ableitung f''(x): Die Ableitung von f'. Sie zeigt die Krümmung (Links- oder Rechtskurve).
Extrempunkt: Oberbegriff für Hochpunkt (Gipfel) und Tiefpunkt (Tal).
Wendepunkt: Stelle, an der der Graph von Links- auf Rechtskurve wechselt oder umgekehrt.
Sattelpunkt: Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Kein Hoch- und kein Tiefpunkt.
Vorzeichenwechsel (VZW): Eine Größe ist links von einer Stelle positiv und rechts negativ, oder umgekehrt.
Intervall [a; b]: Alle x-Werte von a bis b, mit a und b.
x → ∞: „x wird immer größer, ohne Ende.“ So fragt man nach dem Grenzverhalten.
notwendig / hinreichend: Notwendig: muss erfüllt sein, reicht aber nicht. Hinreichend: reicht als Beweis.
AFB: Anforderungsbereich: I = Wissen, II = Anwenden, III = Begründen und Deuten.

Kurvendiskussion · AFB I–II

Nullstellen

Nullstelle = Stelle, an der der Graph die x-Achse trifft. Immer zuerst f(x) = 0 setzen, dann schauen, welche Form die Gleichung hat.

1 · AusklammernJeder Summand hat ein x, keine Zahl allein. Dann x ausklammern: Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.x³ − x² − 12x = x·(x² − x − 12)

2 · p-q-FormelForm x² + px + q = 0. Steht vor x² eine andere Zahl, zuerst durch sie teilen.x = −p/2 ± √((p/2)² − q)

3 · SubstitutionNur x⁴, x² und eine Zahl. Setze z = x², löse mit p-q, dann x = ±√z.x⁴ − 5x² + 4 → z² − 5z + 4

Unter der Wurzel negativ? Keine Lösung. Negatives z? Gibt keine x-Werte.

p-q-Formel Schritt für Schritt: x² + 2x − 8 = 0

Steht vor x² eine 1? Ja. (Sonst erst durch die Zahl teilen.)
p und q ablesen, mit Vorzeichen: p = 2, q = −8.
Einsetzen: x = −2/2 ± √((2/2)² − (−8)) = −1 ± √(1 + 8) = −1 ± 3
Zwei Ergebnisse: x = −1 + 3 = 2 und x = −1 − 3 = −4.

Nullstellen-TrainerÜbung ohne Ende

Bestimme alle Nullstellen von

Übung: Welche Methode passt?

If(x) = 2x² − 8x − 10

Lösung

Durch 2 teilen: x² − 4x − 5 = 0p = −4, q = −5: x = 2 ± √(4 + 5) = 2 ± 3x = 5 und x = −1

If(x) = x⁴ − x²

Lösung

x² ausklammern: x²·(x² − 1) = 0x² = 0 → x = 0; x² = 1 → x = ±1x = −1, x = 0, x = 1

IIf(x) = x² + 4

Lösung

x² = −4. Eine Zahl hoch 2 ist nie negativ.Keine Nullstellen. Der Graph liegt komplett über der x-Achse.

IIIf(x) = x⁵ − 10x³ + 9x

Lösung

x ausklammern: x·(x⁴ − 10x² + 9) = 0 → x = 0Rest mit z = x²: z² − 10z + 9 = 0 → z = 1 oder z = 9x = 0, ±1, ±3 (fünf Nullstellen)

Werkzeug · AFB I–II

Ableitungen bilden

Die Ableitung f'(x) sagt dir, wie steil der Graph an jeder Stelle ist. Sieben Regeln reichen.

Regel	Merksatz	Beispiel
Potenzregel	Hochzahl nach vorne, Hochzahl minus 1	x⁵ → 5x⁴ x → 1
Zahl allein	fällt weg	x² + 7 → 2x
Faktor	bleibt stehen	−4x³ → −12x²
Summe	jeden Teil einzeln	−4x³ + 13x → −12x² + 13
Sinus	sin wird cos	sin(x) → cos(x)
Kosinus (für f'')	cos wird −sin	cos(x) → −sin(x)
Lineare Kette	innen steht m·x + n: außen ableiten, innen stehen lassen, mal m	(5x + 3)⁴ → 20·(5x + 3)³
Produktregel	(u·v)' = u'·v + u·v'	x²·sin(x) → 2x·sin(x) + x²·cos(x)

Wurzel und Bruch erst umschreiben: √x = x^0,5 und 1/x = x^−1.

Produktregel in 3 Schritten

Zwei Teile mit x, die malgenommen werden? Nenne sie u und v.
x²·sin(x): u = x², v = sin(x)
Beide einzeln ableiten: u' = 2x, v' = cos(x)
Einsetzen in u'·v + u·v': 2x·sin(x) + x²·cos(x)

Lineare Kettenregel in 3 Schritten

Innen steht etwas wie 5x + 3? Die Zahl vor x ist m = 5.
Außen normal ableiten, Innen bleibt: (5x + 3)⁴ → 4·(5x + 3)³
Mit m malnehmen: 5·4·(5x + 3)³ = 20·(5x + 3)³

Die allgemeine SinusfunktionRegler bewegen

a (Streckung) b (Periode) c (Verschiebung) d (hoch/runter)

Übung: Leite ab

If(x) = 3x⁴ − 2x² + 7

Lösung

f'(x) = 12x³ − 4x

If(x) = 0,5x⁶

Lösung

f'(x) = 3x⁵

IIf(x) = 4√x

Lösung

Umschreiben: 4x^0,5f'(x) = 2x^−0,5 = 2/√x

IIf(x) = sin(3x + 1)

Lösung

Innen 3x + 1, also m = 3.f'(x) = 3·cos(3x + 1)

IIf(x) = (2x − 1)⁵

Lösung

Außen: 5·(…)⁴, innen: 2f'(x) = 10·(2x − 1)⁴

IIf(x) = x³·sin(x)

Lösung

u = x³, v = sin(x)f'(x) = 3x²·sin(x) + x³·cos(x)

IIf(x) = −2·sin(4x) + 3

Lösung

f'(x) = −8·cos(4x)

IIf(x) = 1/x²

Lösung

Umschreiben: x^−2f'(x) = −2x^−3 = −2/x³

IIf(x) = (4 − x)³

Lösung

Innen 4 − x, also m = −1.f'(x) = −3·(4 − x)²

IIf'' von f(x) = 2·sin(x)

Lösung

f'(x) = 2·cos(x)f''(x) = −2·sin(x)

IIIf(x) = 3x·sin(2x)

Lösung

u = 3x, u' = 3; v = sin(2x), v' = 2·cos(2x) (Kettenregel)f'(x) = 3·sin(2x) + 6x·cos(2x)

IIIf(x) = x·(x + 1)³

Lösung

Produktregel mit u = x, v = (x + 1)³, v' = 3(x + 1)²f'(x) = (x + 1)³ + 3x·(x + 1)²

Kurvendiskussion · AFB I–II

Hoch- und Tiefpunkte

An einem Hoch- oder Tiefpunkt ist der Graph kurz waagerecht. Darum suchst du die Stellen mit f'(x) = 0 und prüfst sie dann mit f''.

Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 lösen. Das gibt nur Kandidaten x₀.
Hinreichende Bedingung: x₀ in f'' einsetzen. f''(x₀) < 0 → Hochpunkt, f''(x₀) > 0 → Tiefpunkt.
Ist f''(x₀) = 0: Vorzeichen von f' links und rechts vergleichen. Kein Wechsel heißt Sattelpunkt.
y-Wert mit f(x₀) ausrechnen und den Punkt angeben, z. B. H(−1 | 2).

Tangente verschiebenZiehe den Regler

Stelle x₀

Übung

IIBestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 6x² + 9x.

Lösung

f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 0 | :3x² − 4x + 3 = 0 → x = 2 ± 1 → x = 1 oder x = 3 f''(x) = 6x − 12f''(1) = −6 < 0 → H(1 | 4)f''(3) = 6 > 0 → T(3 | 0)

IIBestimme die Extrempunkte von f(x) = x⁴ − 2x².

Lösung

f'(x) = 4x³ − 4x = 4x·(x² − 1) = 0Nullprodukt: x = 0, x = 1, x = −1 f''(x) = 12x² − 4f''(0) = −4 → H(0 | 0)f''(±1) = 8 → T(1 | −1) und T(−1 | −1)

IIBestimme die Extrempunkte von f(x) = −x³ + 3x².

Lösung

f'(x) = −3x² + 6x = −3x·(x − 2) = 0x = 0 oder x = 2f''(x) = −6x + 6f''(0) = 6 > 0 → T(0 | 0)f''(2) = −6 < 0 → H(2 | 4)

IIIZeige: f(x) = x³ hat keinen Extrempunkt.

Lösung

f'(x) = 3x² = 0 → x = 0f''(0) = 0 → keine Aussagef'(x) = 3x² ist links und rechts von 0 positiv. Kein Vorzeichenwechsel, also Sattelpunkt statt Extrempunkt.

Kurvendiskussion · AFB I

Grenzverhalten

Was passiert ganz weit links und ganz weit rechts? Dort gewinnt immer die höchste Potenz. Alles andere kannst du ignorieren.

Zwei Fragen reichenKlick dich durch

Höchste Hochzahl:

Zahl davor:

Übung

If(x) = −x⁴ + 3x³

Lösung

4 gerade, −1 negativ → beide Enden nach unten.x → +∞: −∞ | x → −∞: −∞

If(x) = 2x³ − 100x²

Lösung

3 ungerade, 2 positiv. Die −100 ist egal, x³ gewinnt.x → +∞: +∞ | x → −∞: −∞

If(x) = 5 − x

Lösung

Höchste Potenz ist x¹ (ungerade) mit −1 davor.x → +∞: −∞ | x → −∞: +∞

IIf(x) = 0,1x⁶ − 1000x⁵

Lösung

Auch wenn 0,1 klein ist: x⁶ ist die höchste Potenz, gerade und positiv.x → ±∞: +∞

IIf(x) = 10x⁶⁵ − 28x¹⁰⁷

Lösung

Höchste Hochzahl 107 (ungerade), Zahl davor −28 (negativ).x → +∞: −∞ | x → −∞: +∞

Kurvendiskussion · AFB I

Symmetrie

Schau dir nur die Hochzahlen an. Eine Zahl allein zählt als gerade (sie ist x⁰).

Nur gerade Hochzahleny-Achsen-symmetrisch: Die y-Achse ist ein Spiegel.f(−x) = f(x)

Nur ungerade Hochzahlenpunktsymmetrisch zum Ursprung: 180° um (0|0) drehen.f(−x) = −f(x)

Gemischtkeine dieser Symmetrien. Achtung: x³ + 2 ist gemischt, die 2 zählt als gerade.

Schnelltest: Welche Symmetrie?sofort Feedback

Kurvendiskussion · nur erkennen

Krümmung und Wendepunkte

Fahr den Graphen mit dem Fahrrad entlang. Lenkst du nach links, ist es eine Linkskurve (f'' > 0). Lenkst du nach rechts, ist es eine Rechtskurve (f'' < 0). Wo du umlenkst, ist ein Wendepunkt.

Merke: posItiv = lInks, nEgativ = rEchts.

N · Nullstelle von f'Dort hat f eine Extremstelle (Hoch- oder Tiefpunkt).

E · Extremstelle von f'Dort hat f eine Wendestelle. Der Graph ist dort am steilsten.

W · Wendestellef'' wechselt das Vorzeichen. Mit Steigung 0 heißt sie Sattelpunkt.

f, f' und f'' übereinanderRegler bewegen

Stelle x

Übung: Am Graphen erkennen

So kommt es in der Klausur dran: Du bekommst einen Graphen und sollst Krümmung und Wendepunkt ablesen.

IWo ist der Graph eine Rechtskurve, wo eine Linkskurve?

Lösung

Für x < 2 Rechtskurve (um den Hochpunkt herum, Berg).Für x > 2 Linkskurve (um den Tiefpunkt herum, Tal).

IGib den Wendepunkt ungefähr an.

Lösung

W(2 | 3): genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt, dort wechselt die Krümmung.

IIIst f''(3) positiv oder negativ?

Lösung

Bei x = 3 liegt der Tiefpunkt in einer Linkskurve, also f''(3) > 0.

IIIWo fällt der Graph am stärksten?

Lösung

Am Wendepunkt bei x = 2. Dort ist die Steigung am kleinsten (f'(2) = −3).

Jetzt umgekehrt: Hier siehst du nur den Graphen von f', nicht f selbst.

IIIWo hat f Hoch- oder Tiefpunkte?

Lösung

Wo f' = 0 ist (N-E-W: N): bei x = −2 und x = 2.Bei −2 wechselt f' von + nach −: f steigt, dann fällt → Hochpunkt.Bei 2 wechselt f' von − nach +: Tiefpunkt.

IIIWo hat f eine Wendestelle?

Lösung

Wo f' einen Extrempunkt hat (N-E-W: E): beim Tiefpunkt von f' bei x = 0.

IIIDer Graph von f' hat bei x = 2 einen Hochpunkt. Was weißt du über f bei x = 2?

Lösung

f hat bei x = 2 eine Wendestelle. Vorher steigt f' (f'' > 0, Linkskurve), danach fällt f' (f'' < 0, Rechtskurve). Es ist also ein Links-Rechts-Wechsel.

Grundlage · AFB I–II

Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten, also die Steigung der Sekante.

m = ( f(b) − f(a) ) / ( b − a )Im Text: „Im Durchschnitt steigt … um m [Einheit y] pro [Einheit x].“

Von der Sekante zur Tangentea und b verschieben

a b

IIEin Bus fährt nach s(t) = 0,5t² (t in s, s in m). Mittlere Geschwindigkeit in den ersten 10 Sekunden?

Lösung

(s(10) − s(0)) / (10 − 0) = (50 − 0) / 10 = 5Im Durchschnitt fährt der Bus 5 Meter pro Sekunde.

IMittlere Änderungsrate von f(x) = x³ auf [−1; 2]?

Lösung

(f(2) − f(−1)) / (2 − (−1)) = (8 − (−1)) / 3 = 9 / 3 = 3Achtung bei Minus-Zahlen: Klammern setzen!

IITemperatur T(t) = −0,5t² + 4t + 10 (t in h, T in °C). Durchschnittliche Erwärmung in den ersten 4 Stunden?

Lösung

T(4) = −8 + 16 + 10 = 18, T(0) = 10(18 − 10) / 4 = 2Im Schnitt wird es 2 °C pro Stunde wärmer.

IIIWas ist der Unterschied zwischen f'(3) und der mittleren Änderungsrate auf [0; 3]?

Lösung

f'(3) ist die Steigung genau bei x = 3 (Tangente, „momentan“).Die mittlere Änderungsrate ist der Durchschnitt über das ganze Stück von 0 bis 3 (Sekante).

Anwenden · AFB II–III

Aufgaben im Sachkontext

Bei Textaufgaben musst du die Frage in Mathe übersetzen. Danach rechnest du ganz normal und schreibst einen Antwortsatz mit Einheit.

Im Text steht	Du rechnest
„Wie viel nach 2 Stunden?“	f(2)
„zu Beginn“	f(0)
„Wann am höchsten / niedrigsten?“	Extrema mit f' und f'', y-Wert mit angeben
„Wann ist der Wert 120?“	f(x) = 120 lösen
„Wann ist nichts mehr da?“	Nullstellen: f(x) = 0
„Wie schnell ändert es sich in diesem Moment?“	f'(x₀)
„Im Durchschnitt zwischen … und …“	mittlere Änderungsrate
„Zeige, dass es steigt (fällt).“	f'(x) > 0 (f'(x) < 0) im Intervall
„Wann ist der Anstieg am stärksten?“	Wendestelle, am Graphen von f' erkennen

Beispiel: Wirkstoff im BlutK(t) = −t³ + 6t²

Die Konzentration eines Medikaments im Blut wird durch K(t) = −t³ + 6t² beschrieben (t in Stunden nach der Einnahme, K in mg/l, 0 ≤ t ≤ 6).

Zeit t

Ia) Wie hoch ist die Konzentration nach 1 Stunde?

Lösung

K(1) = −1 + 6 = 5Nach einer Stunde sind es 5 mg/l.

IIb) Wann ist die Konzentration am höchsten?

Lösung

K'(t) = −3t² + 12t = −3t·(t − 4) = 0t = 0 oder t = 4K''(t) = −6t + 12, K''(4) = −12 < 0 → MaximumK(4) = −64 + 96 = 32Nach 4 Stunden ist die Konzentration mit 32 mg/l am höchsten.

IIc) Wann ist der Wirkstoff abgebaut?

Lösung

−t³ + 6t² = t²·(6 − t) = 0t = 0 (Einnahme) oder t = 6Nach 6 Stunden ist der Wirkstoff abgebaut.

IId) Durchschnittliche Zunahme in den ersten 4 Stunden?

Lösung

(K(4) − K(0)) / 4 = 32 / 4 = 8Im Schnitt steigt sie um 8 mg/l pro Stunde.

IIIe) Wann steigt die Konzentration am stärksten? Begründe am Graphen.

Lösung

Bei t = 2: Dort ist der Graph am steilsten und wechselt von Links- zu Rechtskurve (Wendestelle). K'(2) = 12, also steigt sie dort um 12 mg/l pro Stunde.

Anwenden · AFB II–III

Rekonstruktion

Hier ist die Funktion unbekannt. Du bekommst Eigenschaften, übersetzt jede in eine Gleichung und löst das Gleichungssystem.

Ansatz mit Ableitung: Grad 2 heißt f(x) = ax² + bx + c und f'(x) = 2ax + b. Grad 3 heißt ax³ + bx² + cx + d.
Jede Info in eine Gleichung übersetzen (Tabelle).
Gleichungssystem lösen. Starte mit der einfachsten Gleichung, oft steht c oder d schon da.
a, b, c einsetzen und Probe machen.

Info im Text	Gleichung
geht durch P(2 \| 5)	f(2) = 5
schneidet die y-Achse bei −3	f(0) = −3
Nullstelle bei x = 4	f(4) = 0
Hoch- oder Tiefpunkt (3 \| 2)	zwei Gleichungen: f(3) = 2 und f'(3) = 0
Steigung 4 an der Stelle 1	f'(1) = 4
y-Achsen-symmetrisch	nur gerade Hochzahlen: ax⁴ + bx² + c
punktsymmetrisch zum Ursprung	nur ungerade Hochzahlen: ax³ + bx

Durchgerechnet: Grad 2, y-Achse bei −3, Hochpunkt H(3 | 2)

f(0) = −3 → c = −3
f(3) = 2 → 9a + 3b + c = 2 → 9a + 3b = 5
f'(3) = 0 → 6a + b = 0 → b = −6a
Einsetzen: 9a − 18a = 5 → a = −5/9, dann b = 10/3
Ergebnis: f(x) = −5/9·x² + 10/3·x − 3

Übung

IIParabel (Grad 2) mit y-Achsenabschnitt 1 und Tiefpunkt T(2 | −3).

Lösung

f(0) = 1 → c = 1f(2) = −3 → 4a + 2b + 1 = −3f'(2) = 0 → 4a + b = 0 → b = −4a4a − 8a = −4 → a = 1, b = −4f(x) = x² − 4x + 1

IIIGrad 3, punktsymmetrisch zum Ursprung, Hochpunkt H(1 | 2).

Lösung

Punktsymmetrisch → f(x) = ax³ + bx, f'(x) = 3ax² + bf(1) = 2 → a + b = 2f'(1) = 0 → 3a + b = 0Subtrahieren: 2a = −2 → a = −1, b = 3f(x) = −x³ + 3x

IIParabel durch A(0 | 0), B(4 | 0) und C(2 | 8).

Lösung

f(0) = 0 → c = 0f(4) = 0 → 16a + 4b = 0 → b = −4af(2) = 8 → 4a + 2b = 8 → 4a − 8a = 8 → a = −2, b = 8f(x) = −2x² + 8x

IIEin Brückenbogen ist eine Parabel: 20 m breit, in der Mitte 5 m hoch. Lege den Scheitel auf die y-Achse.

Lösung

Symmetrisch zur y-Achse → f(x) = ax² + cHöchster Punkt (0 | 5) → c = 5Fußpunkte bei x = ±10 → f(10) = 0 → 100a + 5 = 0 → a = −0,05f(x) = −0,05x² + 5

IIIGrad 4, y-Achsen-symmetrisch, geht durch (0 | 2), Tiefpunkt T(1 | 1).

Lösung

f(x) = ax⁴ + bx² + c, f'(x) = 4ax³ + 2bxf(0) = 2 → c = 2f(1) = 1 → a + b + 2 = 1 → a + b = −1f'(1) = 0 → 4a + 2b = 0 → b = −2aa − 2a = −1 → a = 1, b = −2f(x) = x⁴ − 2x² + 2

Generalprobe · 90 Minuten · 51 Punkte

Probeklausur

Aufgebaut wie die echte Klausur: erst 20 Minuten ohne Hilfsmittel, dann 70 Minuten mit Formelsammlung und Taschenrechner. Schreib alles auf Papier und starte den Timer.

AFB I · 17 P. (33 %)

AFB II · 25 P. (49 %)

III · 9 P.

Teil A: ohne Hilfsmittel (15 P.)

20:00

A1 Leite ab: a) f(x) = 2x⁵ − 3x² + 4 b) g(x) = sin(4x − 1) c) h(x) = x²·sin(x)6 P. · AFB I

Lösung

a) f'(x) = 10x⁴ − 6xb) g'(x) = 4·cos(4x − 1)c) h'(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)

A2 Berechne die Nullstellen von f(x) = x³ − 4x.3 P. · AFB I

Lösung

x·(x² − 4) = 0 → x = 0, x = 2, x = −2

A3 Untersuche f(x) = −x⁴ + 3x² auf Symmetrie und Grenzverhalten.4 P. · AFB I

Lösung

Nur gerade Hochzahlen → y-Achsen-symmetrisch.Höchste Potenz −x⁴ (gerade, negativ) → x → ±∞: f(x) → −∞

A4 Es gilt f'(5) = 0 und f''(5) = −2. Was liegt bei x = 5 vor? Begründe.2 P. · AFB II

Lösung

Notwendige Bedingung erfüllt (f' = 0), f'' < 0 → Rechtskurve → Hochpunkt bei x = 5.

Teil B: mit Hilfsmitteln (36 P.)

70:00

B1 Kurvendiskussion f(x) = x³ − 3x²
a) Nullstellen b) Grenzverhalten und Symmetrie c) Hoch- und Tiefpunkte mit hinreichender Bedingung d) Skizziere den Graphen und gib an, wo er rechts- und wo linksgekrümmt ist und wo ungefähr der Wendepunkt liegt.14 P. · I/II/III

Lösung

a) x²·(x − 3) = 0 → x = 0, x = 3b) x → +∞: +∞, x → −∞: −∞; gemischte Hochzahlen (3 und 2) → keine Symmetriec) f'(x) = 3x² − 6x = 3x·(x − 2) = 0 → x = 0, x = 2; f''(x) = 6x − 6f''(0) = −6 < 0 → H(0 | 0); f''(2) = 6 > 0 → T(2 | −4)d) Rechtskurve für x < 1, Linkskurve für x > 1, Wendepunkt W(1 | −2) zwischen H und T

B2 Freizeitpark Die Besucherzahl wird durch B(t) = −2t³ + 24t² beschrieben (t in Stunden nach Öffnung, 0 ≤ t ≤ 12).
a) Wie viele Besucher sind nach 4 Stunden im Park? b) Wann sind die meisten Besucher da, und wie viele? c) Wann ist der Park wieder leer? d) Wie viele Besucher kommen in den ersten 4 Stunden durchschnittlich pro Stunde dazu? e) Zu welchem Zeitpunkt wächst die Besucherzahl am stärksten? Deute im Sachzusammenhang.12 P. · II/III

Lösung

a) B(4) = −128 + 384 = 256 Besucherb) B'(t) = −6t² + 48t = −6t·(t − 8) = 0 → t = 8; B''(t) = −12t + 48, B''(8) = −48 < 0 → Maximum; B(8) = 512. Nach 8 Stunden sind mit 512 Besuchern die meisten da.c) −2t²·(t − 12) = 0 → t = 12. Nach 12 Stunden ist der Park leer.d) (256 − 0) / 4 = 64 Besucher pro Stundee) Wendestelle bei t = 4 (B''(4) = 0). B'(4) = 96: Vier Stunden nach Öffnung strömen mit 96 Besuchern pro Stunde am schnellsten Leute in den Park.

B3 Rekonstruktion Gesucht ist eine Parabel mit Tiefpunkt T(3 | −1), die durch P(1 | 3) geht.7 P. · AFB II

Lösung

Ansatz f(x) = ax² + bx + c, f'(x) = 2ax + bI: f(3) = −1 → 9a + 3b + c = −1II: f'(3) = 0 → 6a + b = 0 → b = −6aIII: f(1) = 3 → a + b + c = 3I − III: 8a + 2b = −4 → 8a − 12a = −4 → a = 1, b = −6, c = 8f(x) = x² − 6x + 8

B4 Begründe, dass der Graph von f(x) = x⁴ + x² keinen Wendepunkt hat.3 P. · AFB III

Lösung

f''(x) = 12x² + 212x² ist nie negativ, also ist f''(x) immer mindestens 2 > 0.Der Graph ist überall eine Linkskurve. Ohne Krümmungswechsel gibt es keinen Wendepunkt.

Bewertung grob: ab 45 P. sehr gut, ab 38 P. gut, ab 31 P. befriedigend. Das ist nur eine Orientierung.

Alles gemischt

Selbsttest

12 Fragen aus allen Themen, wie in der Klausur nach Anforderungsbereichen gemischt. Klick eine Antwort an, dann siehst du sofort die Erklärung.

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